Question

有甲、乙兩種商品，經(jīng)銷這兩種商品所能獲得的利潤分別是p萬元和q萬元．它們與投入資金x萬元的關(guān)系是：p=x，q=．今有3萬元資金投入經(jīng)營這兩種商品，為獲得最大利潤，對這兩種商品的資金分別投入多少時，能獲取最大利潤？最大利潤為多少？

Answer 1

解：設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3-x）萬元，此時獲取利潤為y萬元；
則由題意知，．
令，則y=-t²++=（其中0≤t≤）；
根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，當t=時，y有最大值，為；
又t=，得=，∴x==2.25（萬元），∴3-x=0.75（萬元）；
所以，對甲投入資金0.75萬元，對乙投資2.25萬元時，獲取利潤最大，為萬元．
分析：如果設對乙商品投入資金x萬元，則對甲投入資金為（3-x）萬元，獲取的利潤為y萬元；那么y=p+q，代入可得關(guān)于x的解析式，利用換元法得到二次函數(shù)f（t），再由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求導y的最大值，和對應的t、x．
點評：本題考查了換元法的應用，運用換元法解題時，要注意換元前后函數(shù)自變量取值范圍的變化，以免出錯．