Question

10．關于函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$），則
①y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$；
②y=f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{24}$，$\frac{11π}{24}$]上是增函數(shù)；
③當x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂）；
④函數(shù)f（x）的圖象關于點（$\frac{π}{24}$，0）對稱；
⑤將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{5π}{24}$個單位后與函數(shù)f（x）的圖象重合．
其中正確結論的序號是①③④．（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

分析 利用三角函數(shù)中的恒等變換應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{12}$）．
利用正弦函數(shù)的圖象和性質可判斷①正確；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間，易證②錯誤；
當x₁-x₂=π時，可求f（x₁）=f（x₂+π）=f（x₂）．可判斷③正確；
由2x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)對稱點可判斷④正確；
根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換規(guī)律即可判斷⑤錯誤．

解答 解：f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）=cos（2x-$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{12}$）．
y=f（x）的最大值為$\sqrt{2}$，①正確；
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{5π}{24}$，kπ+$\frac{7π}{24}$]，k∈Z，易證②錯誤；
當x₁-x₂=π時，f（x₁）=f（x₂+π）=$\sqrt{2}$sin[2（x₂+π）-$\frac{π}{12}$]=$\sqrt{2}$sin（2x₂+2π-$\frac{π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（2x₂-$\frac{π}{12}$）=f（x₂）．故③正確；
由2x-$\frac{π}{12}$=kπ，k∈Z可解得函數(shù)對稱點為：（$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{24}$，0），k∈Z，當k=0時，④正確；
將函數(shù)y=$\sqrt{2}$cos2x的圖象向右平移$\frac{5π}{24}$個單位后得到函數(shù)解析式：y=$\sqrt{2}$cos[2（x-$\frac{5π}{24}$）]=$\sqrt{2}$cos（2x-$\frac{5π}{12}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{12}$），故⑤錯誤．
故答案為：①③④．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，正弦函數(shù)的圖象和性質，屬于基本知識的考查．