Question

（2012•江西模擬）張先生的魚(yú)缸中有7條魚(yú)，其中6條青魚(yú)和1條黑魚(yú)，計(jì)劃從當(dāng)天開(kāi)始，每天中午從該魚(yú)缸中抓出1條魚(yú)（每條魚(yú)被抓到的概率相同）并吃掉．若黑魚(yú)未被抓出，則它每晚要吃掉1條青魚(yú)（規(guī)定青魚(yú)不吃魚(yú)）．
（1）求這7條魚(yú)中至少有6條被張先生吃掉的概率；
（2）以X表示這7條魚(yú)中被張先生吃掉的魚(yú)的條數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（1）本題是一個(gè)等可能事件的概率，設(shè)張先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)為ξ，分別計(jì)算出張先生要想吃到7條魚(yú)就必須在第一天吃掉黑魚(yú)及張先生要想吃到6條魚(yú)就必須在第二天吃掉黑魚(yú)的概率，從而得出張先生至少吃掉6條魚(yú)的概率得到結(jié)果．
（2）由題意知張先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)ξ可取4，5，6，7，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式寫(xiě)出變量的概率，寫(xiě)出分布列和做出期望值．

解答：解：（1）設(shè)張先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)為ξ
張先生要想吃到7條魚(yú)就必須在第一天吃掉黑魚(yú)，P(ξ=7)=

1

7

…（2分）
張先生要想吃到6條魚(yú)就必須在第二天吃掉黑魚(yú)，P(ξ=6)=

6

7

×

1

5

=

6

35

…（4分）
故張先生至少吃掉6條魚(yú)的概率是P(ξ≥6)=P(ξ=6)+P(ξ=7)=

11

35

…（6分）
（2）張先生能吃到的魚(yú)的條數(shù)ξ可取4，5，6，7，最壞的情況是只能吃到4條魚(yú)：前3天各吃掉1條青魚(yú)，其余3條青魚(yú)被黑魚(yú)吃掉，第4天張先生吃掉黑魚(yú)，其概率為
P（ξ=4）=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

16

35

 …（8分） 
 P(ξ=5)=

6

7

×

4

5

×

1

3

=

8

35

…（10分）
所以ξ的分布列為（必須寫(xiě)出分布列，否則扣1分）

ξ	4	5	6	7
P	16 35	8 35	6 35	1 7

…（11分）
故Eξ=

4×16

35

+

5×8

35

+

6×6

35

+

7×5

35

=5，所求期望值為5．…12

點(diǎn)評(píng)：本題考查等可能事件的概率，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)典型的綜合題目．