Question

點(diǎn)P在直徑為5的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的3條弦，設(shè)長(zhǎng)度分別為a、b、c．若這三條弦總長(zhǎng)為6，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，這三條弦為側(cè)棱的三棱錐的體積為，則=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由點(diǎn)P在直徑為5的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的3條弦，推出這三條弦為側(cè)棱的三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角的三棱錐，A-BCD，如圖，三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它們的外接球是一個(gè)，通過(guò)已知的數(shù)據(jù)關(guān)系，列出方程組，求出a，b，c即可確定的值．
解答：由題意可知：三條弦為側(cè)棱的三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角的三棱錐，如圖三棱錐A-BCD，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它們的外接球是一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，因?yàn)辄c(diǎn)P在直徑為5的球面上，過(guò)P作兩兩垂直的3條弦，
設(shè)長(zhǎng)度分別為a、b、c．若這三條弦總長(zhǎng)為6，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，這三條弦為側(cè)棱的三棱錐的體積為，
所以，即
①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由得，所以=．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的外接球的理解，能夠把三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，外接球相同是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力整體思想的應(yīng)用．