Question

已知：函數f（x）=x²-a|x|+2a-3．
（1）若a=2，作函數f（x）的圖象，寫出單調增區(qū)間；
（2）若函數f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍；
（3）設f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）a=2時，f（x）=x²-2|x|+1，作出函數f（x）的圖象，即可寫出單調增區(qū)間；
（2）依題意，|

a

2

|≤1，從而可求得實數a的取值范圍；
（3）依題意，對a分類討論，利用二次函數的單調性即可求得g（a）的表達式．

解答：解：（1）當a=2，f（x）=x²-2|x|+1，作出函數f（x）的圖象如下：

由圖知，f（x）=x²-2|x|+1的單調遞增區(qū)間為[-1，0]，[1，+∞）；
（2）∵f（x）=x²-a|x|+2a-3=(|x|-

a

2

)2-

a2

4

+2a-3，
要使函數f（x）在區(qū)間[1，2]上是增函數，
必須|

a

2

|≤1，
解得-2≤a≤2．
∴實數a的取值范圍為]-2，2]．
（3）∵f（x）=x²-a|x|+2a-3=(|x|-

a

2

)2-

a2

4

+2a-3，x∈[0，2]，
∴當|

a

2

|≤2，即-4≤a≤4時，
g（a）=f（x）_min=f（|

a

2

|）=

a2

4

-

1

2

a|a|+2a-3；
當|

a

2

|＞2，即a＞4或a＜-4時，f（x）=x²-a|x|+2a-3在區(qū)間[0，2]上是減函數，
g（a）=f（2）=1．
綜上所述，g（a）=

a2 4 - 1 2 a|a|+2a-3，-4≤a≤4 1，a＜-4或a＞4

=

3a2 4 +2a-3，-4≤a≤0 - a2 4 +2a-3，0＜a≤4 1，a＜-4或a＞4

．

點評：本題函數圖象的作法，著重考查函數單調性的判斷與證明及二次函數在閉區(qū)間上的最值，考查綜合分析與運用的能力，屬于難題．