Question

在等比數列{a_n}中，已知a₃=

3

2

，S₃=

9

2

．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求和S_n=a₁+2a₂+…+na_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得a₁q²=

3

2

，a₁+a₁q+a₁q²=

9

2

，解方程組即可求得公比q與首項a₁，從而可得等比數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，q=1或q=-

1

2

，分類討論即可．當q=1時，由等差數列的求和公式即可求得S_n；當q=-

1

2

時，可由錯位相減法求得S_n．

解答：解：（1）由條件得：a₁q²=

3

2

，（1分）
 a₁+a₁q+a₁q²=

9

2

，（2分）
∴

1+q

q2

=2（3分）                      
∴q=1或q=-

1

2

  （4分）
當q=1時，a₁=

3

2

，a_n=

3

2

（5分）
當q=-

1

2

時，a₁=6，a_n=6(-

1

2

)n-1（6分）
所以當q=1時，a_n=

3

2

； 當q=-

1

2

時，a_n=6(-

1

2

)n-1．（7分）
（2）當q=1時，S_n=

3

2

（1+2+…+n）=

3n(n+1)

4

；（9分）
當q=-

1

2

時，S_n=6[(-

1

2

)0+2×(-

1

2

)1+3×(-

1

2

)2+…+n(-

1

2

)n-1]（10分）
∴-

1

2

S_n=6[(-

1

2

)1+2×(-

1

2

)2+3×(-

1

2

)3+…+n(-

1

2

)n]（11分）
∴

3

2

S_n=6[1+（-

1

2

）+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1-n(-

1

2

)n]（12分）
=6[

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

-n(-

1

2

)n]（13分）
∴S_n=

8

3

-

4

3

（3n+2）×(-

1

2

)n（14分）

點評：本題考查等比數列的通項公式，考查數列的求和，突出考查錯位相減法與公式法的應用，考查分類討論思想與等價轉化思想的綜合應用，屬于中檔題．