Question

如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點A₁．

（1）求證：A₁D⊥EF；
（2）求三棱錐A₁-DEF的體積．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A₁D⊥A₁F且A₁D⊥A₁E，所以A₁D⊥平面A₁EF．結(jié)合EF?平面A₁EF，得A₁D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A₁EF是以EF為斜邊的直角三角形，而A₁D是三棱錐D-A₁EF的高線，可以算出三棱錐D-A₁EF的體積，即為三棱錐A₁-DEF的體積．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A₁D⊥A₁F，A₁D⊥A₁E，
∵A₁E∩A₁F=A₁，A₁E、A₁F⊆平面A₁EF．
∴A₁D⊥平面A₁EF．
又∵EF?平面A₁EF，
∴A₁D⊥EF．
（2）∵A₁F=A₁E=

1

2

，EF=

2

2

∴A₁F²+A₁E²=

1

2

=EF²，得A₁E⊥A₁F，
∴△A₁EF的面積為S△A1EF=

1

8

，
∵A₁D⊥平面A₁EF．
∴A₁D是三棱錐D-A₁EF的底面A₁EF上的高線，
因此，三棱錐A₁-DEF的體積為：VA1-DEF=VD-A1EF=

1

3

S△A1EF•A1D=

1

24

．

點評：本題以正方形的翻折為載體，證明兩直線異面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查空間垂直關(guān)系的證明和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．