Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+2m-2，
（1）若m為一切實數(shù)，求證圖象與x軸有兩個不同的交點；
（2）若y的最小值為f（m），求f（m）在m∈[0，3]上最大值和最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先計算判別式的值得到△=4m²-8m+8，然后配方得△=4（m-1）²+4，利用非負數(shù)的性質(zhì)得△＞0，于是二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題即可得到結(jié)論；
（2）用m表示函數(shù)的最小值，得到關(guān)于m的解析式，然后求最值．

解答： （1）證明：∵y=x²-2mx+2m-2，
∴△=（-2m）²-4（2m-2）
=4m²-8m+8
=4（m-1）²+4，
∵4（m-1）²≥0，
∴4（m-1）²+4＞0，即△＞0，
∴不論m為何實數(shù)，此二次函數(shù)的圖象與x軸都有兩個不同交點；
（2）解：∵y=x²-2mx+2m-2，
∴y=（x-m）²-m²+2m-2，
∴f（m）=-m²+2m-2=-（m-1）²-1，m∈[0，3]，
∴當m=1時f（m）的最大值為-1；
當m=3時f（m）的最小值為-5．

點評：本題考查了二次函數(shù)的圖象與判別式的關(guān)系以及二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值；二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．