Question

如圖所示，正方形ABCD與正方形DEFG的邊長分別為a，b（a＜b），原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y²=2px（p＞0）經(jīng)過C，F(xiàn)兩點(diǎn)，則

b

a

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：可先由圖中的點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系，寫出C，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入拋物線方程中，消去參數(shù)p后，得到a，b的關(guān)系式，再尋求

b

a

的值．

解答： 解：由題意可得C(

a

2

，-a)，F(

a

2

+b，b)，
將C，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入拋物線方程y²=2px中，得

(-a)2=2p• a 2 b2=2p( a 2 +b)

∵a＞0，b＞0，p＞0，兩式相比消去p得

a

b2

=

1

a+2b

，化簡整理得a²+2ab-b²=0，
此式可看作是關(guān)于a的一元二次方程，由求根公式得a=

-2b± 8b2

2

=(-1±

2

)b，
取a=(

2

-1)b，
從而

b

a

=

1

2 -1

=

2

+1，
故答案為：

2

+1．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是弄清兩個(gè)正方形與拋物線的位置關(guān)系，這樣才能順利寫出C，F(xiàn)的坐標(biāo)，接下來是消參，得到了一個(gè)關(guān)于a，b的齊次式，應(yīng)注意根的取舍與細(xì)心的計(jì)算．