Question

已知函數(shù)f(x)=a-

2

x+1

．
（1）當(dāng)a=4，解不等式f（x）＞3x；
（2）若函數(shù)g（x）=f（2^x）是奇函數(shù)，求a的值；
（3）若不等式f（x）＜x在[0，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=4時(shí)，把要解得不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為

(3x+2)(x-1)

x+1

＜0，由此求得不等式f（x）＞3x的解集．
（2）由g（x）是奇函數(shù)，可得g（-x）+g（x）=0恒成，化簡(jiǎn)可得2a=

2

2x+1

+

2 •2x

2x+1

=2，從而求得a的值．
（3）由題意可得a＜x+

2

x+1

在 x∈[0，+∞)上恒成立，設(shè)h(x)=x+

2

x+1

，利用基本不等式求得h(x)min=2

2

-1，從而得到a的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=4時(shí)，不等式f(x)＞3x?4-

2

x+1

＞3x?

3x2-x-2

x+1

＜0?

(3x+2)(x-1)

x+1

＜0
解得x＜-1 或 -

2

3

＜x＜1，
∴原不等式的解集為(-∞，-1)∪(-

2

3

，  1)．
（2）g(x)=f(2x)=a-

2

2x+1

，∵g（x）是奇函數(shù)，∴g（-x）+g（x）=0恒成立．
∴a-

2

2-x+1

+a-

2

2x+1

=0，
即 2a=

2

2x+1

+

2

2-x+1

=

2

2x+1

+

2 • 2x

2x+1

=2，∴a=1．
（3）f（x）＜x在x∈[0，+∞）上恒成立?a＜x+

2

x+1

 在 x∈[0，+∞)上恒成立，
設(shè)h(x)=x+

2

x+1

，則只需a＜h（x）_min．
∵x≥0，∴x+1≥1，∴h(x)=x+

2

x+1

=x+1+

2

x+1

-1≥2

2

-1，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

2

x+1

，即 x=

2

-1時(shí)，h(x)min=2

2

-1，
∴a的取值范圍是a＜2

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分式不等式的解法，函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，
屬于中檔題．