Question

已知正四面體ABCD的棱長為a．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AC，BD的中點(diǎn)，則

AE

•

AF

的值是（　�。�

• A、a²
• B、

  1

  2

  a²
• C、

  1

  4

  a²
• D、

  3

  4

  a²

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,空間向量及應(yīng)用

分析：如圖所示，正四面體ABCD的棱長為a．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AC，BD的中點(diǎn)，可得

AF

=

1

2

(

AB

+

AD

)，

AB

•

AC

=

AD

•

AC

=a²cos60°．代入即可得出．

解答： 解：如圖所示，
∵正四面體ABCD的棱長為a．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AC，BD的中點(diǎn)，
∴

AF

=

1

2

(

AB

+

AD

)，

AB

•

AC

=

AD

•

AC

=a²cos60°=

1

2

a2．
∴

AE

•

AF

=

1

2

(

AB

+

AD

)•

1

2

AC

=

1

4

(

AB

•

AC

+

AD

•

AC

)
=

1

4

×2×

1

2

a2
=

1

4

a2．
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查了向量的平行四邊形法則、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、正四面體的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．