Question

13．如圖所示，從橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)M向x軸作垂線，垂足為焦點(diǎn)F₁，若橢圓長軸一個(gè)端點(diǎn)為A，短軸一個(gè)端點(diǎn)為B，且OM∥AB．
（1）求橢圓離心率e；
（2）若F₂為橢圓的右焦點(diǎn)，直線PQ過F₂交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，且PQ⊥AB，當(dāng)S${\;}_{D{F}_{1}PQ}$=20$\sqrt{3}$時(shí)，求橢圓方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M的坐標(biāo)，由題意得到A，B的坐標(biāo)，由OM∥AB，借助于斜率相等可得b=c，再結(jié)合隱含條件可求橢圓離心率；
（2）由PQ⊥AB求出求出PQ所在直線的斜率，寫出PQ的方程，和橢圓方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程，求出|y_Q-y_P|$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b，代入三角形的面積公式求得b值得答案．

解答 解：（1）設(shè)M（-c，y），A（a，0），B（0，b），
則有$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．解得$y=\frac{^{2}}{a}$．
∵AB∥OM，∴k_AB=k_OM，
∴-$\frac{a}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{-c}$，得b=c，則a=$\sqrt{2}$b=$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵k_AB=-$\frac{1}{{k}_{PQ}}$，k_AB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_PQ=$\sqrt{2}$．
設(shè)l_PQ：y=$\sqrt{2}$（x-c）=$\sqrt{2}$（x-b），則x=$\frac{y}{\sqrt{2}}$+b，①
橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，即x²+2y²=2b²，②
把①代入②得：$\frac{5}{2}$y²+$\sqrt{2}$by-b²=0，
△=2b²+10b²=12b²，
∴|y_Q-y_P|=$\frac{\sqrt{12^{2}}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b．
又${S}_{△{F}_{1}PQ}$=$\frac{1}{2}$|y_Q-y_P|•|F₁F₂|=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b•2b=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$b²=20$\sqrt{3}$，
∴b²=25，則a²=50．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{50}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查橢圓的簡單性質(zhì)，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．