Question

（2011•通州區(qū)一模）已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和n個(gè)黑球．現(xiàn)從兩盒中各任取出2個(gè)球，若取出的4個(gè)球都是黑球的概率是

1

5

．
（I）求n；
（II）設(shè)隨機(jī)變量ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）取出的4個(gè)球均為黑色球包括從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球且從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇�，這兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則ξ可能的取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可寫出分布列．

解答：解：（I）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均黑球”為事件A，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录﨎．
∵事件A，B相互獨(dú)立，且P（A）=

C 2 3

C 2 4

=

1

2

，P（B）=

C 2 n

C 2 n+2

．
∴取出的4個(gè)球均為黑球的概率為P（A•B）=P（A）•P（B）=

1

2

×

n(n-1)

(n+2)(n+1)

=

1

5

∴n=4．
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3．
則P（ξ=0）=

1

5

，P（ξ=1）=

C 2 3

C 2 4

•

C 1 2 C 1 4

C 2 6

+

C 1 3

C 2 4

•

C 2 4

C 2 6

=

7

15

，
又P（ξ=3）=

C 1 3

C 2 4

•

1

C 2 6

=

1

30

，
從而P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=

3

10

．
ξ的分布列為

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．