Question

5．已知點M的坐標是（1，1），F(xiàn)₁是橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}$=1的左焦點，P是橢圓上的動點，則|PF₁|+|PM|的取值范圍是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 |PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PF₁|=6-|PF₂|，所以，|PF₁|+|PM=6-|PF₂|+|PM|=6+（|PM|-|PF₂|），由此結合圖象能求出|PF₁|+|PM|的最小值和最大值，即可得到所求范圍．

解答 解：∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6
那么|PF₁|=6-|PF₂|，
則|PF₁|+|PM|=6-|PF₂|+|PM|
=6+（|PM|-|PF₂|）
根據三角形三邊關系可知，當點P位于P₁時，
|PM|-|PF₂|的差最小，
此時F₂與M點連線交橢圓于P₁，
易得-|MF₂|=-$\sqrt{2}$，此時，
|PF₁|+|PM|也得到最小值，其值為6-$\sqrt{2}$．
當點P位于P₂時，
|PM|-|PF₂|的差最大，
此時F₂與M點連線交橢圓于P₂，
易得|MF₂|=$\sqrt{2}$，此時|PF₁|+|PM|也得到最大值，其值為6+$\sqrt{2}$．
則所求范圍是[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．
故答案為：[6-$\sqrt{2}$，6+$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查橢圓的定義、性質和應用，解題時要注意數(shù)形結合法的合理運用．