Question

將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處，小球將自由下落．小球在下落的過程中，將3次遇到黑色障礙物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障礙物時，向左、右兩邊下落的概率都是

1

2

．
（1）求小球落入A袋中的概率P（A）；
（2）在容器入口處依次放入4個小球，記 ξ為落入A袋中的小球個數，試求ξ=3的概率和ξ的數學期望 Eξ；
（3）如果規(guī)定在容器入口處放入1個小球，若小球落入A袋獎10 元，若小球落入B袋罰4元，試求所得獎金數η的分布列和數學期望，并回答你是否參加這個游戲？

Answer 1

分析：（1）設小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；先計算小球落入B袋中的概率，只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，可得P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

．小球要么落入A袋，要么落入B袋，故此兩個事件是對立事件，利用P（A）=1-P（B）即可得出．
（2）由題意可知：ξ～B（4，

3

4

），利用二項分布列的概率計算公式及其數學期望計算公式即可得出．
（3）由（1）可知：P（η=10）=

3

4

，P（η=-4）=

1

4

，即可得到η的分布列和數學期望．

解答：解：（1）設小球落入B袋中的概率P（B），小球落入A袋中的概率P（A）；
只有小球一直向左或一直向右，才能落入B袋中，故P（B）=(

1

2

)3+(

1

2

)3=

1

4

，
而事件“小球落入A袋”與“小球落入B袋”是對立事件．
故P（A）=1-P（B）=

3

4

．
（2）由題意可知：ξ～B（4，

3

4

），∴P（ξ=3）=

C

3 4

(

3

4

)3×(1-

3

4

)=

27

64

．
Eξ=4×

3

4

=3．
（3）由（1）可知：P（η=10）=

3

4

，P（η=-4）=

1

4

，可得η的分布列

η	10	-4
P（η）	3 4	1 4

∴Eη=10×

3

4

+(-4)×

1

4

=6.5．
由于6.5＞0，因此可以參加這個游戲．

點評：本題考查了相互獨立事件和互斥事件的概率計算公式、二項分布列及其數學期望等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．