Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²，已知x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)極值點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為零建立方程組，解之即可；
（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，列出f'（x）、f（x）隨x的變化情況，從而求出函數(shù)的單調(diào)性．

解答：解：顯然f（x）的定義域?yàn)镽．
（1）f'（x）=2xe^x-1+x²e^x-1+3ax²+2bx=xe^x-1（x+2）+x（3ax+2b），（2分）
由x=-2和x=1為f（x）的極值點(diǎn)，得

f′(-2)=0 f′(1)=0.

（4分）
即

-6a+2b=0 3+3a+2b=0

（5分）
解得

a=- 1 3 b=-1.

（7分）
（2）由（1）得f'（x）=x（x+2）（e^x-1-1）．（8分）
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=0，x₃=1．（10分）f'（x）、f（x）隨x的變化情況如下表：（13分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

從上表可知：函數(shù)f（x）在（-2，0）和（1，+∞）上是單調(diào)遞增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是單調(diào)遞減的．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道關(guān)于函數(shù)的綜合題，主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基礎(chǔ)知識(shí)，應(yīng)熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)的方法步驟等問(wèn)題．