Question

下面關(guān)于f（x）的判斷：
①y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
②若f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），則f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
③設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，且x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），若x₁＜x₂，則

1

x2

＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
④函數(shù)f（x）=lnx，x₀，x₁，x₂∈（0，+∞），存在x₀∈（x₁，x₂），（x₁＜x₂），使得

1

x0

=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
⑤設(shè)函數(shù)f（x）=x²-3x+4，g(x)=

1

2

x2+4lnx+a．對(duì)于?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）=g（x₂），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1，

5

4

]．
其中正確的判斷是

 

（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①令x-2=t，易知y=f（t）與y=f（-t）關(guān)于直線t=0對(duì)稱，從而可判斷①的正誤；
②利用偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合①的結(jié)論可判斷②的正誤
③不妨設(shè)x₁=

1

2

，x₂=1，代入關(guān)系式計(jì)算，可判斷③之正誤；
④利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合可判斷④的正誤；
⑤依題意，可求得當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）∈[

7

4

，e²-3e+4]，設(shè)g（x）=

1

2

x²+4lnx+a的值域?yàn)镸，則[

7

4

，e²-3e+4]⊆M，利用函數(shù)y=g（x）的單調(diào)性解不等式組

g(1)≤ 7 4 g(e)≥e2-3e+4

可判斷⑤．

解答： 解：①令x-2=t，則2-x=-t，y=f（t）與y=f（-t）關(guān)于直線t=0對(duì)稱，
∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，故①正確；
②∵f（x）為偶函數(shù)，f（2+x）=-f（x），
∴f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），由①知f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，即②正確；
③不妨設(shè)x₁=

1

2

，x₂=1，則

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

ln 1 2 -ln1

1 2 -1

=2ln2=ln4＞1=

1

x2

，故③錯(cuò)誤；
④f′（x）=

1

x

，f′（x₀）=

1

x0

，表示在x=x₀處的切線的斜率，由圖知，過橫坐標(biāo)分別為x₁和x₂的兩點(diǎn)的割線
和過曲線上橫坐標(biāo)為x₀的點(diǎn)的切線的斜率可能相等，故④正確；
⑤∵f（x）=x²-3x+4=(x-

3

2

)2+

7

4

，f（1）=2，f（e）=e²-3e+4，
∴當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）∈[

7

4

，e²-3e+4]；
∵對(duì)于?x₁∈[1，e]，總?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）=g（x₂），
設(shè)當(dāng)x∈[1，e]時(shí)g（x）=

1

2

x²+4lnx+a的值域?yàn)镸，
則[

7

4

，e²-3e+4]⊆M；
又g′（x）=x+

4

x

＞0，
∴y=g（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
∴

g(1)≤ 7 4 g(e)≥e2-3e+4

，解得

1

2

e²-3e≤a≤

5

4

，故⑤錯(cuò)誤；
綜上所述，①②④正確．
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性與值域，著重考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想與創(chuàng)新思維，屬于難題．