Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax，x∈（0，+∞）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：；
（3）若|m|≥2，試比較：（n∈N₊）與m²-3大小關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，由于參數(shù)a的變化對(duì)單調(diào)性有影響，故要進(jìn)行分類(lèi)討論；（2）利用（1）問(wèn)的結(jié)論，利用疊加的思想可證得；（3）問(wèn)則在（2）的基礎(chǔ)上，進(jìn)行疊加即可證得．
解答：解：（1），
①若a≥1，f′（x）＜0恒成立，故函數(shù)在（0，+∞）上遞減；
②若0＜a＜1，令f′（x）＞0，則函數(shù)在上遞增，在上遞減；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上遞減，即f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x，所以ln（1+）＜，所以，當(dāng)n=1，2，n時(shí)，疊加得：；
（3）由（2）知，，疊加得
故由題意|m|≥2，m²-3＞1，
所以＜m²-3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個(gè)恒成立的問(wèn)題，恒成立的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化最值問(wèn)題來(lái)求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問(wèn)題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運(yùn)算量過(guò)大，解題時(shí)要認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)，避免變形運(yùn)算失誤，導(dǎo)致解題失�。�