Question

7．已知x²+y²-2ax-4ay+4a²=0，求證：
（1）不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線上．
（2）不論a取何值，上述圓都有公切線，并求公切線方程．

Answer 1

分析 （1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，則y=2x，即可得證；
（2）由于不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線y=2x上．又半徑均為|a|，則存在兩條公切線，且與直線y=2x平行，相距|a|；運(yùn)用平行直線的距離公式，計(jì)算即可得到．

解答 證明：（1）圓x²+y²-2ax-4ay+4a²=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（x-a）²+（y-2a）²=a²，
即有圓心為（a，2a），半徑為|a|，（a≠0），
令$\left\{\begin{array}{l}{x=a}\\{y=2a}\end{array}\right.$，則y=2x，
故不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線y=2x上．
（2）由于不論a取何值，上述圓的圓心在同一條直線y=2x上．
又半徑均為|a|，
則存在兩條公切線，且與直線y=2x平行，相距|a|；
設(shè)公切線方程為y=2x+t，
由d=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$=|a|，
解得t=±$\sqrt{5}$|a|，（a≠0），
即有兩條公切線方程為y=2x+$\sqrt{5}$|a|，或y=2x-$\sqrt{5}$|a|，（a≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的一般式方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，圓的圓心和半徑的求法，以及圓的公切線方程的求法，屬于中檔題．