Question

已知函數(shù)與的圖像都過點，且它們在點處有公共切線.

（1）求函數(shù)和的表達式及在點處的公切線方程；

（2）設(shè)，其中，求的單調(diào)區(qū)間.

 

Answer 1

【答案】

（1），，；

（2）當(dāng)時，F(xiàn)(x)的單調(diào)減區(qū)間是 單調(diào)增區(qū)間是；

當(dāng)時，F(xiàn)(x)沒有單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間是.

【解析】

試題分析：(1)因為函數(shù)和有公共的切線，所以切線的斜率相同，又因為它們都過，所以可以列出方程，求出；（2）先求導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的定義域，通過討論的正負(fù)，求導(dǎo)求單調(diào)區(qū)間.

試題解析：(1)∵過點

∴，,                                         （2分）

∵，∴切線的斜率.

∵，  （1）

又∵的圖像過點∴  （2）

聯(lián)立（1）（2）解得：                                 （4分）

∴；切線方程為，即

∴，；切線為：       （6分）

（2）∵，

∴                             （9分）

①當(dāng)時，，  ∵，∴

又，∴當(dāng)時， ；

當(dāng)時，.

∴的單調(diào)減區(qū)間是 單調(diào)增區(qū)間是；        （11分）

②當(dāng)時，顯然沒有單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間是.     （13分）

考點：1.利用導(dǎo)數(shù)求切線方程；2.利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間.