【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局(如北京道路幾乎都是東西和南北走向).在這樣的城市中,我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離(位移),而是實際路程(如圖).在直角坐標平面內(nèi),我們定義,兩點間的直角距離為:.

1)在平面直角坐標系中,寫出所有滿足到原點的直角距離2格點的坐標.(格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

2)求到兩定點、直角距離和為定值的動點軌跡方程,并在直角坐標系內(nèi)作出該動點的軌跡.(在以下三個條件中任選一個做答)

,,

,,;

,,.

3)寫出同時滿足以下兩個條件的格點的坐標,并說明理由(格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點).

①到兩點直角距離相等;

②到,兩點直角距離和最小.

【答案】(1)、、、、、、

(2)答案不唯一,見解析

(3)、、、、、,理由見解析

【解析】

1)由“直角距離”的定義知,進而得到所求點坐標;

2)根據(jù)“直角距離”的定義,分別結(jié)合條件①②③,得到動點軌跡方程;利用分類討論的方式去掉絕對值符號即可得到不同區(qū)間內(nèi)動點的軌跡,從而做出圖形;

(3)由條件①可得:;由條件②可得:,在平面直角坐標系中做出兩個條件下的點構(gòu)成的區(qū)域,取交集,結(jié)合圖形得到最終結(jié)果.

1)由“直角距離”的定義可知所求點坐標滿足:

則所求點為:、、、、、

2)條件①:動點軌跡方程為:

⑴當,時,;⑵當,時,

⑶當,時,;⑷當,時,;

⑸當,時,;⑹當時,

條件②:動點軌跡方程為:

⑴當時,;⑵當,時,;

⑶當,時,;

由對稱性可得其他部分圖形

條件③:動點軌跡方程為:

⑴當時,;⑵當,時,;

⑶當,時,

由對稱性可得其他部分圖形

3)滿足條件的格點有、、、、、、

對于①,設滿足到、兩點“直角距離”相等

即滿足,可得:

對于②,設、兩點“直角距離”和最小

當且僅當時等號成立

可得:

在直角坐標系中畫出分別滿足條件①、②的點構(gòu)成的區(qū)域,如下圖所示:

則同時滿足條件①、②的格點的坐標是:、、、、、、、

練習冊系列答案
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其中真命題是( )

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