【題目】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù)).

1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);

2)設(shè)直線為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.

【答案】1)當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)(2)證明見解析

【解析】

1)對函數(shù)求導(dǎo)得,令,分類討論有無零點(diǎn)以及零點(diǎn)與、的相對位置即可得解;

2)由題意可得切線的方程可表示為,設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn),由題意可得,進(jìn)而可得,由(1)中結(jié)論即可證明上存在唯一的根,即可得證.

1)由題意,

,,

①當(dāng)時(shí),,

此時(shí),單調(diào)遞增,無極值點(diǎn);

②當(dāng)時(shí),即當(dāng)時(shí),

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),

,,

i)當(dāng)時(shí),

因?yàn)?/span>,

所以,

所以函數(shù)單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn);

ii)當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>,

所以,此時(shí),單調(diào)遞增,無極值點(diǎn).

綜上所述,當(dāng)時(shí),函數(shù)無極值點(diǎn),當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).

2)證明:因?yàn)?/span>,所以切線的方程可表示為,

設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn),

因?yàn)?/span>,所以,

消去并整理得,

由(1)可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,

,.

所以函數(shù)上有唯一的零點(diǎn),

又因?yàn)?/span>單調(diào)遞增,

所以方程上存在唯一的根,

故在區(qū)間上存在唯一的,使得直線與曲線相切.

練習(xí)冊系列答案
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1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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D.相比于上一年同期,其中四個(gè)城市的往返機(jī)票平均價(jià)格在增加

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