Question

已知定義域為[0，1]的函數(shù)f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，則有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數(shù)f（x）的最大值；
（3）試證明：當(dāng)x，n∈N₊時，f（x）＜2x．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=0，依條件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，則
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是當(dāng)0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1因此當(dāng)x=1時，f（x）取最大值1．（8分）
（3）證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x∈（n∈N₊）時，f（x）≤
1⁰當(dāng)n=1時，x∈，f（x）≤f（1）=1=，不等式成立．
當(dāng)n=2時，x，＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤f（2x）≤不等式成立．
2⁰假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N₊，k≥2）時，不等式成立，即x∈時，f（x）≤
則當(dāng)n=k+1時，x，記t=2x，則t=2x∈，∴f（t）≤
而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤f（2x）=f（t）≤
因此當(dāng)n=k+1時不等式也成立．
由1⁰，2⁰知，當(dāng)x∈（n∈N₊）時，f（x）≤
又當(dāng)x∈（n∈N₊）時，2x＞，此時f（x）＜2x．
綜上所述：當(dāng)x∈（n∈N₊）時，有f（x）＜2x．（14分）
分析：（1）通過①②確定f（0）≥0以及f（0）≤0，試求f（0）的值；
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），當(dāng)0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1，當(dāng)x=1時，f（x）取最大值1；
（3）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟試1⁰當(dāng)n=1時驗證即可；2⁰假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N₊，k≥2）時，不等式成立，證明當(dāng)n=k+1時不等式也成立．
點評：本題是中檔題，考查函數(shù)的值的求法，最值的求法，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查計算能力，邏輯推理能力．