(2012•海淀區(qū)二模)點(diǎn)P(x,y)是曲線C:y=
1
x
(x>0)上的一個(gè)動點(diǎn),曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).給出三個(gè)命題:
①|(zhì)PA|=|PB|;
②△OAB的周長有最小值4+2
2

③曲線C上存在兩點(diǎn)M,N,使得△OMN為等腰直角三角形.
其中真命題的個(gè)數(shù)是( 。
分析:先利用導(dǎo)數(shù)求出過點(diǎn)P的切線方程:①由切線方程可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo),進(jìn)而利用兩點(diǎn)間的距離公式即可證明;②先利用兩點(diǎn)間的距離公式求出△OAB的周長,再利用基本不等式的性質(zhì)即可證明;③先假設(shè)滿足條件的點(diǎn)M、N存在,利用等腰三角形的性質(zhì)只要解出即證明存在,否則不存在.
解答:解:設(shè)動點(diǎn)P(m,
1
m
)
(m>0),則y=-
1
x2
,∴f(m)=-
1
m2
,
∴過動點(diǎn)P(m,
1
m
)
的切線方程為:y-
1
m
=-
1
m2
(x-m)

①分別令y=0,x=0,得A(2m,0),B(0,
2
m
)

則|PA|=
m2+
1
m2
,|PB|=
m2+
1
m2
,∴|PA|=|PB|,故①正確;
②由上面可知:△OAB的周長=2m+
2
m
+2
m2+
1
m2
2×2
1
m
+2
2
m2×
1
m2
=4+2
2
,當(dāng)且僅當(dāng)m=
1
m
,即m=1時(shí)取等號.
故△OAB的周長有最小值4+2
2
,即②正確.
③假設(shè)曲線C上存在兩點(diǎn)M(a,
1
a
)
,N(b,
1
b
)
,不妨設(shè)0<a<b,∠OMN=90°.
|ON|=
2
|OM|
,
OM
MN
,
所以
b2+
1
b2
=
2
a2+
1
a2
a(b-a)+
1
a
(
1
b
-
1
a
)=0
化為
b2+
1
b2
=2(a2+
1
a2
)
a3b=1

解得
a=
4
3-
5
2
b=
1
a3
,故假設(shè)成立.
因此③正確.
故選D
點(diǎn)評:理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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PF1
+
PF2
|
的最小值是( 。

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1
2
x
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3
,則a=
6
3
6
3

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x2
a2
-
y2
b2
=1
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5
5

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