Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)（0,1），求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn)；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）對(duì)a分兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)至多有一個(gè)極值點(diǎn).

解：（Ⅰ）由，得

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，令，則.

由得，

則①當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).

②當(dāng)，即時(shí)，及隨的變化情況如下表：

x
	+	0	-
		極大值

因?yàn)?/span>，

所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即在上至多有一個(gè)零點(diǎn).

所以函數(shù)在上至多有一個(gè)極值點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域上至多有一個(gè)極值點(diǎn)