Question

進行直角坐標方程與極坐標方程的互化.

(1)y²=4x;(2)y²+x²-2x-1=0;(3)θ=;

(4)ρcos²=1;(5)ρ²cos(2θ)=4;(6)ρ=.

Answer 1

思路分析：極坐標系和直角坐標系都是用一對有序?qū)崝?shù)來確定平面上一點的位置的方法.在解這類題時，除正確使用互化公式外，還要注意與恒等變換等知識相結(jié)合.

解：(1)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²=4x，得(ρsinθ)²=4ρcosθ.

化簡得ρsin²θ=4cosθ.

(2)將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入y²+x²-2x-1=0,得(ρsinθ)²+(ρcosθ)²-2ρcosθ-1=0.

化簡得ρ²-2ρcosθ-1=0.

(3)∵tanθ=，∴tan==.化簡得y=x(x≥0).

(4)∵ρcos²=1,

∴ρ·=1,即ρ+ρcosθ=2.

∴+x=2,化簡得y²=-4(x-1).

(5)∵ρ²cos(2θ)=4,∴ρ²cos²θ-ρ²sin²θ=4,即x²-y²=4.

(6)∵ρ=,∴2ρ-ρcosθ=1.

∴=1,化簡得3x²+4y²-2x-1=0.

    方法歸納 在進行兩種坐標間的互化時，要注意:

(1)互化公式是有三個前提條件的，極點與直角坐標系的原點重合；極軸與直角坐標系的橫軸的正半軸重合；兩種坐標系的單位長度相同.

(2)由直角坐標求極坐標時，理論上不是唯一的，但這里約定只在0≤θ＜2π范圍內(nèi)求值.

(3)由直角坐標方程化為極坐標方程，最后要化簡.

(4)由極坐標方程化為直角坐標方程時要注意變形的等價性，通常總要用ρ去乘方程的兩端，應(yīng)該檢查極點是否在曲線上，若在,是等價變形，否則不是等價變形.