Question

已知f（x）=aln（x+1）+

1

x+1

+3x-1．
（1）若x≥0時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求證：

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln（2n+1）對一切正整數(shù)n均成立．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）求導數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）知，x＞0時，不等式-2ln(x+1)+

1

x+1

+3x-1＞0恒成立，則x＞0時，

1

x+1

+3x-1＞2ln(x+1)恒成立．令x=

2

2k-1

（k∈N^*），

k+1

4k2-1

＞

1

4

ln

2k+1

2k-1

．令k=1，2，3，…，n，疊加，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：f′(x)=

a

x+1

-

1

(x+1)2

+3=

3(x+1)2+a(x+1)-1

(x+1)2

=

3x2+(a+6)x+a+2

(x+1)2

．
若a≥-2，則a+6＞0，x＞0時，f'（x）＞0．此時，f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)．
∴x≥0時，f（x）≥f（0）=0．a(chǎn)≥-2符合要求．
若a＜-2，則方程3x²+（a+6）x+a+2=0有兩個異號的實根，設這兩個實根為x₁，x₂，且x₁＜0＜x₂．
∴0＜x＜x₂時，f'（x）＜0．f（x）在區(qū)間[0，x₂]上為減函數(shù)，f（x₂）＜f（0）=0．
∴a＜-2不符合要求．
∴a的取值范圍為[-2，+∞）．
（2）證明：由（1）知，x＞0時，不等式-2ln(x+1)+

1

x+1

+3x-1＞0恒成立．
∴x＞0時，

1

x+1

+3x-1＞2ln(x+1)恒成立．
令x=

2

2k-1

（k∈N^*），得

1

2 2k-1 +1

+3×

2

2k-1

-1＞2ln(

2

2k-1

+1)，
整理得 

8k+8

4k2-1

＞2ln

2k+1

2k-1

．
∴

k+1

4k2-1

＞

1

4

ln

2k+1

2k-1

．令k=1，2，3，…，n，得

2

4×12-1

＞

1

4

ln

3

1

，

3

4×22-1

＞

1

4

ln

5

3

，

4

4×32-1

＞

1

4

ln

7

5

，…，

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln

2n+1

2n-1

．
將上述n個不等式的左右兩邊分別相加，得

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln(

3

1

×

5

3

×

7

5

×…×

2n+1

2n-1

)=

1

4

ln(2n+1)．
∴

2

4×12-1

+

3

4×22-1

+

4

4×32-1

+…+

n+1

4×n2-1

＞

1

4

ln(2n+1)對一切正整數(shù)n均成立．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，巧妙利用兩小題之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．