Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），點(diǎn)D（0，b），直線DF的斜率為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P（-4c，0）作與直線AB的傾斜角互補(bǔ)的直線l，交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，問：$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$是否為定值，若是，求出此定值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用直線的斜率公式和離心率公式，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，即可得到；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：x=ty-c，直線MN：x=-ty-4c，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），將直線方程分別代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由兩點(diǎn)的距離公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得，k_DF=$\frac{c}$=$\sqrt{3}$，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2c，
則橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）設(shè)直線AB：x=ty-c，直線MN：x=-ty-4c，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
將直線x=ty-c代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，可得
（3t²+4）y²-6tcy-9c²=0，
則y₁y₂=-$\frac{9{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}$，
再將直線x=-ty-4c代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，可得
（3t²+4）y²+24tcy+36c²=0，
則y₃y₄=$\frac{36{c}^{2}}{3{c}^{2}+4}$，
即有$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$=$\frac{\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{1}|•\sqrt{1+{t}^{2}}|{y}_{2}|}{\sqrt{1+（-t）^{2}}|{y}_{3}|•\sqrt{1+（-t）^{2}}|{y}_{4}|}$
=$\frac{|{y}_{1}{y}_{2}|}{|{y}_{3}{y}_{4}|}$=$\frac{\frac{9{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}}{\frac{36{c}^{2}}{3{t}^{2}+4}}$=$\frac{1}{4}$．
故$\frac{|FA|•|FB|}{|PM|•|PN|}$為定值$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的運(yùn)用，同時(shí)考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，正確設(shè)出直線方程是解題的關(guān)鍵．