Question

若不等式

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1對于x取任何實(shí)數(shù)均成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：先將1移到左邊，通分后將分式變?yōu)橐蚴较喑说男问�，根�?jù)題意不等式對于x取任何實(shí)數(shù)均成立可得出一元二次不等式所對應(yīng)的方程的判別式＜0，進(jìn)而可解得答案．

解答：解：∵

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

＜1，
∴

2x2+2kx+k

4x2+6x+3

-1＜0，
∴

2x2-2(k-3)x+3-k

4x2+6x+3

＞0，
∴2x²-2（k-3）x+3-k＞0（因?yàn)椋?x²+6x+3恒正），
∴原不等式對x取任何實(shí)數(shù)均成立，等價于不等式2x²-2（k-3）x+3-k＞0對x取任何實(shí)數(shù)均成立．
∴由△＜0，即4（k-3）²-8（3-k）＜0，∴k²-4k+3＜0，
解得：1＜k＜3．
故k的取值范圍為 （1，3）．

點(diǎn)評：本題考查一元二次不等式的解法，有一定難度，解答此類題目的關(guān)鍵是掌握不等式對于x取任何實(shí)數(shù)均成立可得出一元二次不等式所對應(yīng)的方程的判別式小于0．