已知函數(shù)f(x)=
2x-12x+1

（I）求f（log23）的值
（II）證明f（x）的是奇函數(shù)；
（III）求f（x）的值域．
分析：（I）由函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
，知f（log23）=
2log23-1
2log23+1
，由此利用對數(shù)的恒等式alogaN=N，能求出結(jié)果．
（II）由f(x)=
2x-1
2x+1
，知f(-x)=
2-x-1
2-x+1
=-
2x-1
2x+1
=-f（x），由此能證明f（x）為R上的奇函數(shù)．
（III）由f(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
，利用2x＞0，得0＜
1
2x+1
＜1，由此能求出f（x）的值域．
解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=
2x-1
2x+1
，
∴f（log23）=
2log23-1
2log23+1
=
3-1
3+1
=
1
2
．
（II）∵f(x)=
2x-1
2x+1
，
∴f（x）的定義域為R，
∵f(-x)=
2-x-1
2-x+1

=
1-2x
1+2x

=-
2x-1
2x+1

=-f（x），
∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
（III）f(x)=
2x-1
2x+1
=
2x+1-2
2x+1
=1-
2
2x+1
，
∵2x＞0，
∴2x+1＞1，
∴0＜
1
2x+1
＜1，
∴0＜
2
2x+1
＜2，
∴-2＜-
2
2x+1
＜0，
∴-1＜1-
2
2x+1
＜1，
∴f（x）的值域是（-1，1）．
點評：本題考查對數(shù)恒等式alogaN=N的應(yīng)用和對數(shù)奇偶性的證明，求對數(shù)函數(shù)值域的方法，是基礎(chǔ)題．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案