Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD，AD//BC,AC,，點(diǎn)M在線段PD上.

（1）求證：平面PAC；

（2）若二面角M-AC-D的大小為，試確定點(diǎn)M的位置.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）要證平面，只要證：,由題設(shè)平面

得，結(jié)合條件，可證平面，從而有，結(jié)論可證.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示

寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而確定點(diǎn)M的位置.

解證：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900281395544051_DA/SYS201411171900281395544051_DA.023.png">平面， 平面

所以 , 2分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900281395544051_DA/SYS201411171900281395544051_DA.029.png">，，平面，,

所以平面 3分

又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900281395544051_DA/SYS201411171900281395544051_DA.033.png">平面，平面，

所以 4分

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900281395544051_DA/SYS201411171900281395544051_DA.033.png">，，平面，,

所以 平面 6分

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719002234249935/SYS201411171900281395544051_DA/SYS201411171900281395544051_DA.042.png">⊥平面，又由（1）知，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .則,,，,,

設(shè)，,則 ，

故點(diǎn)坐標(biāo)為, 8分

設(shè)平面的法向量為，則 9分

所以

令，則. 10分

又平面的法向量

所以, 解得

故點(diǎn)為線段的中點(diǎn). 12分

考點(diǎn)：1、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)；2、空間直角坐標(biāo)系；3、空間向量的夾角公式及應(yīng)用.