Question

如圖所示,已知在△ABC邊上做勻速運動的點D、E、F,在時刻t=0時,分別從A、B、C出發(fā),各以一定速度向B、C、A前進(jìn),當(dāng)時刻t=1時到達(dá)B、C、A.

(1)問:在運動過程中,△DEF的重心發(fā)生怎樣的變化?

(2)若△ABC的面積是S,則△DEF的面積有最小值嗎?若有,則何時取到最小值?若無,請說明理由.

Answer 1

思路分析:(1)注意在同一時刻D、E、F分、、所成的比相同,故可利用定比分點坐標(biāo)公式分別求出D、E、F三點的坐標(biāo),再利用重心坐標(biāo)公式求出重心坐標(biāo).

(2)將S_△DEF表示為t的二次函數(shù)求最小值,注意t的范圍.

解:(1)設(shè)A(x_A,y_A),B(x_B,y_B),C(x_C,y_C).

由題意,在同一時刻t,D、E、F分、、所成的比相同,設(shè)為λ,則λ====.

由定比分點坐標(biāo)公式可求得

D(tx_B+(1-t)x_A,ty_B+(1-t)y_A),

E(tx_C+(1-t)x_B,ty_C+(1-t)y_B),

F(tx_A+(1-t)x_C,ty_A+(1-t)y_C).

由三角形重心坐標(biāo)公式求得

△DEF的重心坐標(biāo)為

(,),與t無關(guān),

即在運動過程中,△DEF的重心不變.

(2)∵=t,=1-t,

∴△DFA與△ABC的底與高對應(yīng)成比例,S_△DFA∶S_△ABC=(AD·AF)∶(AB·AC)=t(1-t),即S_△DFA=t(1-t)S.

同理,S_△DEB=S_△EFC=t(1-t)S.

∴S_△DEF=S_△ABC-(S_△DFA+S_△DEB+S_△EFC)

=(3t²-3t+1)S=［3(t-)²+］S.

∵0≤t≤1,

∴當(dāng)t=時,S_△DEF的面積有最小值為S.