已知PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶.

（1）求PB與平面PDC所成角的大��；

（2）求二面角DPBC的正切值；

（3）若AD=BC，求證:平面PAB⊥平面PB

（1）解析：由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得PD⊥BC.?

又AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.?

又PD∩DC=D，則BC⊥平面PDC.?

所以∠BPC為直線PB與平面PDC所成的角.?

令PD=1，則DC=1，BC=，可求出PC=.?

由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.?

在Rt△PBC中，由PC=BC得∠BPC=45°,即直線PB與平面PDC所成的角為45°.?

（2）解析：如圖，取PC中點E，連結DE，則DE⊥PC.由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC，則DE⊥平面PBC，作EF⊥PB于F，連結DF，由三垂線定理，得DF⊥PB.

則∠DFE為二面角DPBC的平面角.?

在Rt△PDC中，求得DE=.?

在Rt△PFE中，求得EF=.?

在Rt△DEF中，tan∠DFE=，?

即二面角DPBC大小的正切值為.??

（3）證明:如圖，取PB中點G，連結AG和EG.由三角形中位線定理得GE∥BC，GE=BC.?

由已知，AD∥BC，AD=BC，?

∴AD GE.?

?

∴AGED是平行四邊形.∴AG∥DE.?

由（2）已證出DE⊥平面PBC，?

∴AG⊥平面PBC.?

又AG平面PAB，∴平面PAB⊥平面PBC.


練習冊系列答案
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已知D為△ABC的邊BC的中點，在△ABC所在平面內有一點P，滿足
PA
+
BP
+
CP
=0，設
|
PA
|
|
PD
|
=λ，則λ的值為（　　）
A、1
B、
1
2
C、2
D、
1
4

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已知D為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內有一點P，滿足
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+
BP
+
CP
=0，設
|
AP|
|
PD|
=λ，則λ的值為
 
．

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（1）求PD與平面PAC所成的角的大��；
（2）求△PDB繞直線PA旋轉一周所構成的旋轉體的體積．

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