Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA丄底面ABCD底面ABCD為矩形，E為PD上一點(diǎn)，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．
（I）若F為PE的中點(diǎn)，求證BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求三棱錐P-ACE的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得E、F都是線段PD的三等分點(diǎn)．設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE是△BDF的中位線，故有BF∥OE，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理證得 BF∥平面ACE．
（II）由條件證明CD⊥平面PAE，再根據(jù)三棱錐P-ACE的體積V_P-ACE=V_C-PAE=S_△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（I）若F為PE的中點(diǎn)，由于底面ABCD為矩形，E為PD上一點(diǎn)，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE，故E、F都是線段PD的三等分點(diǎn)．
設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則OE是△BDF的中位線，故有BF∥OE，而OE在平面ACE內(nèi)，BF不在平面ACE內(nèi)，故BF∥平面ACE．
（II）由于側(cè)棱PA丄底面ABCD，且ABCD為矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．
三棱錐P-ACE的體積V_P-ACE=V_C-PAE=S_△PAE•CD=•（•S_△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用等體積法求棱錐的體積，屬于中檔題．