Question

已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）設(shè)函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時， 在上單調(diào)遞增；（3）實數(shù)的取值范圍為.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時，先確定，接著求出，進而求出，最后由直線的點斜式即可寫出所求的切線方程；（2）先確定函數(shù)的定義域，設(shè)，接著針對這個二次函數(shù)開口方向及與軸正半軸有多少個交點的問題分、、三類進行討論，進而確定各種情況下的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后將各個情況綜合描述即可；（3）法一：先將至少存在一個，使得成立的問題等價轉(zhuǎn)化為：令，等價于“當(dāng) 時，”，進而求取即可解決本小問；法二：設(shè)，定義域為，進而將問題轉(zhuǎn)化為等價于當(dāng) 時，，從中對參數(shù)分、、、，進行求解即可.

函數(shù)的定義域為， 1分

（1）當(dāng)時，函數(shù)，，

所以曲線在點處的切線方程為

即 4分

（2）函數(shù)的定義域為

1.當(dāng)時，在上恒成立

則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減 5分

2.當(dāng)時，

（ⅰ）若

由，即，得或 6分

由，即，得 7分

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為 9分

（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增 10分

綜上可知：時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時， 在上單調(diào)遞增

（3）因為存在一個使得

則，等價于 12分

令，等價于“當(dāng) 時，”

對求導(dǎo)，得 13分

因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

所以，因此 16分

另【解析】
設(shè)，定義域為

依題意，至少存在一個，使得成立

等價于當(dāng) 時， 11分

（1）當(dāng)時

在恒成立，所以在單調(diào)遞減，只要

則不滿足題意 12分

（2）當(dāng)時，令得

（�。┊�(dāng)，即時

在上，所以在上單調(diào)遞增

所以，由得，，所以 13分

（ⅱ）當(dāng)，即時

在上，所以在單調(diào)遞減

所以，由得 14分

（ⅲ）當(dāng)，即時， 在上，在上

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

，等價于或，解得，所以， 15分

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為 16分.

考點：1.導(dǎo)數(shù)在切線上的應(yīng)用；2.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3.函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)；4.分類討論的思想.