Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$，滿(mǎn)足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）=0，則|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最小值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{7}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角為60°，結(jié)合|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=2設(shè)出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的坐標(biāo)，同時(shí)設(shè)出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，代入（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）=0求得$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)的軌跡，然后由|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的幾何意義結(jié)合點(diǎn)到直線的距離得答案．

解答 解：由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2，得cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|}=\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為60°，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}=（2，0）$，則$\overrightarrow=（1，\sqrt{3}）$，
再設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，由（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-2$\overrightarrow{c}$）=0，得$（2-x，-y）•（1-2x，\sqrt{3}-2y）=0$，
整理得：$（x-\frac{5}{4}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}=\frac{3}{4}$．
∴（x，y）在以（$\frac{5}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}$）為圓心，以$\frac{\sqrt{3}}{2}$為半徑的圓上，
而|$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|表示的是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（1，$\sqrt{3}$）的距離d．
∴d_min=$\sqrt{（1-\frac{5}{4}）^{2}+（\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．