Question

給定橢圓C：，稱圓心在原點O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個焦點為，其短軸的一個端點到點F的距離為．
（1）求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；
（2）過橢圓C的“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點P作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個交點，求l₁，l₂的方程；
（3）若點A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點，B，D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓和其“準(zhǔn)圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義即可得出；
（2）先求出點P的坐標(biāo)，設(shè)出與橢圓相切的直線的方程，并與橢圓的方程聯(lián)立，利用△=0即可求出切線的斜率，進而可 求出直線l₁，l₂的方程；
（3）先設(shè)出點B、D的坐標(biāo)并求出點A的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得出，再利用點B在橢圓上即可得出其取值范圍．
解答：解：（1）由題意可得：，，b=1，∴r==2．
∴橢圓C的方程為，其“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4；
（2）由“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取P（2，0），
設(shè)過點P且與橢圓相切的直線l的方程為my=x-2，
聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的一元二次方程（3+m²）x²+4m+1=0，
∴△=16m²-4（3+m²）=0，解得m=±1，
故直線l₁、l₂的方程分別為：y=x-2，y=-x+2．
（3）由“準(zhǔn)圓”的方程為x²+y²=4，令y=0，解得x=±2，取點A（2，0）．
設(shè)點B（x，y），則D（x，-y）．
∴=（x-2，y）•（x-2，-y）=，
∵點B在橢圓上，∴，∴，
∴==，
∵，
∴，
∴，即的取值范圍為
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義及性質(zhì)、直線與圓錐曲線相切問題的解法、斜率的數(shù)量積的定義是解題的關(guān)鍵．