Question

10．在正方體AC₁中．
（1）求AD與BB₁所成的角；
（2）求AC與BC₁所成的角；
（3）AA₁，AB，CC₁的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，求EF與A₁G所成的角；
（4）求EF與D₁B₁所成的角．

Answer 1

分析 利用平行關(guān)系，結(jié)合異面直線所成角的定義，即可求出所求角．

解答 解：正方體AC₁中．
（1）由正方體的性質(zhì)，BB₁⊥平面ABCD，∴BB₁⊥AD，
∴AD與BB₁所成的角是90°；
（2）∵△A₁BC₁是等邊三角形，∴AC與BC₁所成的角是60°；
（3）AA₁，AB，CC₁的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，G，則EF∥A₁B，
∴∠GA₁B或其補(bǔ)角為EF與A₁G所成的角，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A₁B=2$\sqrt{2}$，BG=$\sqrt{5}$，GA₁=3，
∴cos∠GA₁B=$\frac{9+8-5}{2×3×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠GA₁B=45°；
（4）∵EF∥A₁B，BD∥D₁B₁，
∴∠A₁BD或其補(bǔ)角為EF與D₁B₁所成的角，
∵△A₁BD是等邊三角形，∴EF與D₁B₁所成的角是60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角，考查平行關(guān)系，確定異面直線所成角是關(guān)鍵．