Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，左右頂點分別為A₁，A₂，過F₁作斜率不為0的直線l與橢圓交于A，B兩點，△ABF₂的周長為8．橢圓上一點P與A₁，A₂連線的斜率之積${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$（點P不是左右頂點A₁，A₂）．
（Ⅰ）求該橢圓方程；
（Ⅱ）已知定點M（0，m）（其中常數(shù)m＞0），求橢圓上動點N與M點距離的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△ABF₂的周長為8求得a，然后結合${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$求得b點的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出N的坐標，利用兩點間的距離公式得到|MN|關于N的縱坐標的函數(shù)，然后分類求出橢圓上動點N與M點距離的最大值．

解答 解：（Ⅰ）如圖，由△ABF₂的周長為8，得4a=8，即a=2．
∴A₁（-2，0），A₂（2，0），
設P（x₀，y₀），則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}=1$．
又${k_{P{A_1}}}•{k_{P{A_2}}}=-\frac{1}{4}$，得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}•\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}=-\frac{1}{4}$，
即$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+{{y}_{0}}^{2}=1$，∴b²=1．
則橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設橢圓上N（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），又M（0，m），
∴|MN|=$\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+（{y}_{0}-m）^{2}}$=$\sqrt{-3{{y}_{0}}^{2}-2m{y}_{0}+{m}^{2}+4}$
=$\sqrt{-3（{y}_{0}+\frac{m}{3}）^{2}+\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$．
若$\frac{m}{3}＞1$，即m＞3時，則當y₀=-1時，|MN|有最大值為m+1，
若0$＜\frac{m}{3}≤1$，即0＜m≤3時，則當${y}_{0}=-\frac{m}{3}$時，|MN|有最大值為$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{3}+4}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查橢圓方程的求法，訓練了利用配方法求函數(shù)的最值，是中檔題．