Question

已知函數(shù)f（x）=

2cos4x-3cos2x+1

cos2x

，求它的定義域和值域，并判斷它的奇偶性．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先，根據(jù)函數(shù)為分式函數(shù)，分母不為零，得到函數(shù)的定義域，然后，化簡函數(shù)解析式：f（x）=-sin²x，然后，借助于函數(shù)為偶函數(shù)的概念，進行判斷奇偶性．最后，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解其值域．

解答： 解：∵cos2x≠0，
∴2x≠

π

2

+kπ，（k∈Z），
∴x≠

π

4

+

kπ

2

，（k∈Z），
∴f（x）的定義域{x|x≠

π

4

+

kπ

2

，（k∈Z）}
∵f（x）=

2cos4x-3cos2x+1

cos2x

=

(2cos2x-1)(cos2x-1)

2cos2x-1

=cos²x-1
=-sin²x，
∴f（-x）=-sin²（-x）=-sin²x=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)． 
顯然-sin²x∈[-1，0]，
又∵x≠

kπ

2

+

π

4

，k∈Z，
∴-sin²x≠-

1

2

．
∴原函數(shù)的值域為{y|-1≤y＜-

1

2

或-

1

2

＜y≤0}．

點評：本題綜合考查了三角函數(shù)的公式、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．