Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）的右焦點為F2（3，0），離心率為e．
（Ⅰ）若 ，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF2 ， BF2的中點．若坐標(biāo)原點O在以MN為直徑的圓上，且 ，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得 ，得 ．

結(jié)合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．

所以，橢圓的方程為 ．

（Ⅱ）由 得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

所以 ，

依題意，OM⊥ON，

易知，四邊形OMF2N為平行四邊形，

所以AF2⊥BF2，（7分）

因為 ， ，

所以 ．

即 ，

將其整理為k2=﹣ =﹣1﹣

因為 ，所以 ，12≤a2＜18．

所以 ，即 ．

【解析】（Ⅰ）由題意得 ，得 ，由此能求出橢圓的方程．

（Ⅱ）由 得（b2+a2k2）x2﹣a2b2=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．所以 ，依題意OM⊥ON知，四邊形OMF2N為矩形，所以AF2⊥BF2，因為 ， ，所以 ．由此能求出k的取值范圍．

【考點精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識點，需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能正確解答此題．