Question

20．已知在△ABC中，角A、B、C成公差大于0的等差數(shù)列，且滿足條件：1-cos2A-cos2C+cos2Acos2C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，則$\frac{a+\sqrt{2}b}{c}$的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{6}+1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得解得：A＜B＜C，B=$\frac{π}{3}$，化簡(jiǎn)條件可得sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．再由積化和差公式可得cos（-A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，故C-A=30°，由此可得 A和C的值，求出sinA和sinB 的值，再利用兩角和的正弦公式求得sinC的值，利用正弦定理即可求值．

解答 解：∵在△ABC中，角A、B、C成公差大于0的等差數(shù)列，2B=A+C，A+B+C=π，
∴解得：A＜B＜C，B=$\frac{π}{3}$，
∵1-cos2A-cos2C+cos2Acos2C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，
∴可得：（1-cos2A）（1-cos2C）=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，
有2sin²A•2sin²C=$\frac{4+2\sqrt{3}}{4}$，得sin²A•sin²C=（$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$）²，
可得：sinAsinC=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$
∴解得：-$\frac{1}{2}$[cos（A+C）-cos（A-C）]=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
解得：cos（A-C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴C-A=$\frac{π}{6}$，解得：A=$\frac{π}{4}$，C=$\frac{5π}{12}$
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinC=sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
∴$\frac{a+\sqrt{2}b}{c}$=$\frac{sinA+\sqrt{2}sinB}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題