Question

已知函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的部分圖象如圖所示，其中B，C為函數(shù)的最大值和最小值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B與直線(xiàn)AB：y=x+1垂直的直線(xiàn)BC被圓x²+y²=9所截得的弦長(zhǎng)為3

2

．
（Ⅰ）求直線(xiàn)BC的方程．
（Ⅱ）求函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出直線(xiàn)BC的方程，利用弦心距、半徑、半弦長(zhǎng)的關(guān)系求出直線(xiàn)BC的方程．
（Ⅱ）求出B 的坐標(biāo)，BC的方程與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出函數(shù)的周期，利用三角函數(shù)經(jīng)過(guò)的特殊點(diǎn)，求出φ，即可求函數(shù)y=Msin(ωx+?)，(M＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

)的解析式．

解答：解：（I）依題意設(shè)直線(xiàn)BC：y=-x+b，…（1分）
圓心O到直線(xiàn)BC的距離d=

9-( 3 2 2 )2

=

3 2

2

，…（3分）
又∵d=

|b|

2

=

3 2

2

，
∴|b|=3，…（5分）
又依題意b＞0，
∴b=3，
∴直線(xiàn)BC：y=-x+3．…（7分）
（II）由

y=x+1 y=-x+3

得：

x=1 y=2

，
∴點(diǎn)B（1，2），
∴M=2．…（8分）
 取直線(xiàn)BC與x軸的交點(diǎn)為E，
∴E（3，0），…（9分）
點(diǎn)B，C關(guān)于點(diǎn)E中心對(duì)稱(chēng)，
∴C（5，-2）…（10分）
T=2×（5-1）=8，ω＞0，
∴ω=

π

4

∴y=2sin(

π

4

x+?)…（12分）
函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（1，2），

π

4

+?=2kπ+

π

2

，k∈Z，
∵|φ|＜

π

2

，
∴?=

π

4

，…（13分）
∴y=2sin(

π

4

x+

π

4

)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的解析式的求法，直線(xiàn)方程的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．