如圖所示,△ABC是正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2DC,F(xiàn)是BE的中點(diǎn).求證:
(1)DF∥平面ABC;
(2)AF⊥BD.
分析:(1)要證DF∥平面ABC,只要證DF平行于平面ABC內(nèi)的一條直線,取AB中點(diǎn)N,連結(jié)FN,NC,可證四邊形DCNF為平行四邊形,則答案得證;
(2)要證明AF⊥BD,可證明BF為BD在平面ABE上的射影,即證DF⊥面ABE,也就是證CN⊥面ABE,由線面垂直的判定得答案.
解答:證明:如圖,
(1)取AB中點(diǎn)N,連結(jié)FN,NC,
∵F為BE的中點(diǎn),∴FN為△ABE的中位線,∴FN∥NE,F(xiàn)N=
1
2
NE,
又AE、CD都垂直于面ABC,2CD=AE,∴AE∥CD,∴CD∥FN且CD=FN,
∴四邊形CDFN為平行四邊形,∴DF∥CN,又DF?面ABC,CN?面ABC,∴DF∥面ABC;
(2)∵AE=AB,F(xiàn)是BE的中點(diǎn),在△ABC中,N是AB的中點(diǎn),∴AF⊥BE,CN⊥AB,
∵AE⊥面ABC,AE?面ABE,∴面ABE⊥面ABC,又CN⊥AB,∴CN⊥面ABE,
∴DF⊥面ABE,∴DB在平面ABE的射影為BF,∴AF⊥BD.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與平面平行的判定,考查了直線與平面垂直的性質(zhì),考查了學(xué)生的空間想象和思維能力,是中檔題.
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(1)求證:DF∥平面ABC;
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2
a

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(1)求證:DF∥平面ABC;
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