Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y=

1

4

x2的焦點(diǎn)，離心率等于

2 5

5

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓C的右焦點(diǎn)，若

AF

=λ1

MA

，

BF

=λ2

MB

，求證：

λ1+λ2

λ1λ2

為定值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，可得焦點(diǎn)（0，1），是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，可得b=1，與已知離心率聯(lián)立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得即可．
（2）設(shè)直線AB：y=k（x-2）代入橢圓方程

x2

5

+y2=1，化為（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0，得到根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量運(yùn)算及相等即可證明．

解答：（1）解：設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由拋物線y=

1

4

x2化為x²=4y，可得焦點(diǎn)（0，1），是橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)，
∴b=1，
又

c

a

=

2 5

5

，聯(lián)立可得

b=1 c a = 2 5 5 a2=b2+c2

，解得a²=5，b=1，c=2．
故橢圓C的方程為

x2

5

+y2=1
（2）證明：設(shè)A，B，M點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．

AF

=(2-x1，-y1)，

MA

=(x1，y1-y0)，

BF

=(2-x2，-y2)，

MB

=(x2，y2-y0)，
由

AF

=λ1

MA

，得2-x1=λ1x1⇒λ1=

2-x1

x1

，
由

BF

=λ2

MB

，得2-x2=λ2x2⇒λ2=

2-x2

x2

，
則

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2-x1 x1 + 2-x2 x2

2-x1 x1 • 2-x2 x2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

，（※）
設(shè)直線AB：y=k（x-2）代入橢圓方程

x2

5

+y2=1，
有（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0
由韋達(dá)定理x1+x2=

20k2

1+5k2

，x1x2=

20k2-5

1+5k2

代入（※）
有

λ1+λ2

λ1•λ2

=

2(x1+x2)-2x1x2

4-2(x1+x2)+x1x2

=

2• 20k2 1+5k2 -2• 20k2-5 1+5k2

4-2• 20k2 1+5k2 + 20k2-5 1+5k2

=-10．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量運(yùn)算與相等等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．