Question

1．設(shè)平面向量$\overrightarrow a=（x，4），\overrightarrow b=（y，-2），\overrightarrow c=（2，1）$，（其中x＞0，y＞0）若$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$，則$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值為$2\sqrt{26}$．

Answer 1

分析 由已知求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}，\overrightarrow-\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積為0可得xy-2（x+y）-5=0，再由基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于（x+y）的不等式，求出x+y的最小值，即可求得$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（x，4），\overrightarrow b=（y，-2），\overrightarrow c=（2，1）$，
∴$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=（x-2，3），\overrightarrow-\overrightarrow{c}=（y-2，-3）$，
由$（\overrightarrow a-\overrightarrow c）⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow c）$，得（x-2）（y-2）-9=0，
即xy-2（x+y）-5=0．
又x＞0，y＞0，∴2（x+y）+5=xy$≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$，解得x+y≤-2（舍），或x+y≥10．
$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|$=$\sqrt{（x+y）^{2}+4}$$≥\sqrt{104}$=$2\sqrt{26}$
故答案為：$2\sqrt{26}$．

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．