Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）通過兩角差的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的周期，利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ，然后由相鄰對稱軸間的距離可求ω，即可求f（x）；
（2）f（x）=2cos2x⇒g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$），由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π （k∈Z）即可得g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$），
因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以φ-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
所以T=π，T=$\frac{2π}{ω}$=π，所以ω=2；
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，…（6分）
（2）由知f（x）=2cos2x，
所以g（x）=f（x-$\frac{π}{6}$）=2cos[2（x-$\frac{π}{6}$）]=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）…（9分）
由2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π （k∈Z），解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈Z），
因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）…（12分）

點評 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，關(guān)鍵是用好輔助角公式，再由其奇偶性與周期確定φ的值，重點考查三角函數(shù)的平移變換與單調(diào)性，屬于中檔題．