Question

試求使不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞5-2t對一切正整數(shù)n都成立的最小自然數(shù)t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

分析：設(shè)f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可得到最小自然數(shù)t的值，在用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

解答：解：設(shè)f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

∵f(n+1)-f(n)=(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+4

)-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n+1

)=

1

3n+2

+

1

3n+3

+

1

3n+4

-

1

n+1

=

1

3n+2

+

1

3n+4

-

2

3n+3

=

6n+6

(3n+2)(3n+4)

-

2(3n+3)

(3n+3)2

=

6n+6

9n2+18n+8

-

2(3n+3)

9n2+18n+9

＞0
∴f（n）遞增，∴f（n）最小為f(1)=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

∵f（n）＞5-2t對一切正整數(shù)n都成立，∴5-2t＜

13

12

，∴自然數(shù)t≥2
∴自然數(shù)t的最小值為2                 …（7分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞1
（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=1時(shí)成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

＞1
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

1

k+2

+

1

k+3

+

1

k+4

+…+

1

3k+4

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

＞1+

1

3k+2

+

1

3k+3

+

1

3k+4

-

1

k+1

=1+

2

(3k+2)(3k+4)(3k+3)

＞1
∴n=k+1時(shí)也成立
根據(jù)（1）（2）可知

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

3n+1

＞1成立 …（14分）
注：第（1）小題也可歸納猜想得出自然數(shù)t的最小值為2

點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．