Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（a-2）x+a-3，若函數(shù)y=|f（x）|在x∈（2，3）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)f（x）=x²-（a-2）x+a-3=[x-（a-3）]（x-1），分a-3=1，即a=4時(shí)，a-3＞1，即a＞4時(shí)和a-3＜1，即a＜4時(shí)，三種情況，討論函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)性，進(jìn)而綜合討論結(jié)果，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x²-（a-2）x+a-3=[x-（a-3）]（x-1）
當(dāng)a-3=1，即a=4時(shí)，f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
此時(shí)y=|f（x）|=f（x）=x²-2x+1=（x-1）²在x∈（2，3）單調(diào)遞增，滿足條件；
當(dāng)a-3＞1，即a＞4時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)遞增區(qū)間為[1，

a-2

2

]和[a-3，+∞）
若函數(shù)y=|f（x）|在x∈（2，3）單調(diào)遞增，
則3≤

a-2

2

，或a-3≤2
解得a≥8，或a≤5
∴4＜a≤5，或a≥8，
當(dāng)a-3＜1，即a＜4時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|的單調(diào)遞增區(qū)間為[a-3，

a-2

2

]和[1，+∞）
此時(shí)函數(shù)y=|f（x）|在x∈（2，3）單調(diào)遞增，滿足條件；
∴a＜4
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤5，或a≥8，

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖象的對折變換，函數(shù)單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．