Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，數(shù)列{a_n}滿足
（1）求證：當時，不等式恒成立；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f（x）-x=sinx-x，通過導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，說明函數(shù)大于極小值，同時利用增函數(shù)證明f（x）-x=sinx-x，得到結(jié)果．
（2）由（1）0＜a_n＜1，，利用放大法，求出數(shù)列S_n=a₁+a₂++a_n；
S_n，使得問題得證．
解答：證明：（1）①令g（x）=f（x）-x=sinx-x，
當時，g'（x）=cosx-1＜0∴g（x）在上是減函數(shù)，
所以g（x）＜g（0）=0，∴f（x）-x=sinx-x，
恒成立；（2分）
②令=，
設(shè)的根為x，即．
∵y=cosx在上是減函數(shù)，
所以x∈（0，x）時，，
h（x）為增函數(shù)；時，，h（x）為減函數(shù)；．
∵，∴h（x）＞0恒成立，
即．
綜上：當時，不等式恒成立；（6分）
（2）由條件知0＜a_n＜1，，
由（Ⅰ）得，即，
由a_n＜a_n+1可知數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
所以S_n=a₁+a₂++a_n．（8分）
由得=，
∴S_n=a₁+a₂++a_n==．
綜上：（n∈N₊）成立，
當n=1時，等號成立．（12分）
點評：本題考查數(shù)列的求和，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)列的函數(shù)特性，考查證明方法放縮法，是有難度的中檔題．